Cálculo

INTEGRAL SIMPLE

La integración es un concepto fundamental del calculo y del analisis matematico. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

 

Para hallar el área bajo la curva de determinada función, desde un punto en "x" hasta otro punto en "x" como observamos en la gráfica anterior, fraccionamos dicho espacio en rectángulos infinitamente pequeños, pequeños cambios en x, que llamamos dx y hacemos la sumatoria del área de cada uno de estos pequeños rectángulos, área que hallamos usando la fórmula del área de un rectángulo, base*altura.

Utilizaremos de ejemplo una función similar a la de nuestro pulsometro, la funcion sen(x):

Hallaremos el área que se ve coloreada de negro.

INTEGRAL DE LÍNEA

Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo f(x,y) o f(x,y,z). 

una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno. 

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

el cálculo de la longitud de una curva en el espacio. 

o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo. 

Integral curvilínea de un campo escalar:

Para f : R^2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)j con t [a, b], está definida como:

donde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C. Las integrales de trayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).

En este caso, los infinitamente pequeños cambios serán determinados por el teorema de pitágoras, estos cambios los llamaremos "ds".

Integral curvilínea de un campo vectorial:

Para F : R^n → R^n un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t [a, b], está definida como:

Donde es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.

Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos contrarios.

Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que:

Donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al par donde:

Ejemplo:

Suponiendo que una partícula se mueve a lo largo de la funcion y=sen(x) -función similar a la utilizada en nuestro pulsometro- desde el punto A(3/2, 1) hasta el punto B(1,4) calcularemos el trabajo total efectuado si el movimiento es ocasionado por el campo:

Solución: